La formulación del problema da lugar a muchas ramificaciones en función del número de personas implicadas y de si este es o no una potencia de 2. A sí mismo es fundamental decidir si solo se debe calcular la posición de FJ o si también debemos conocer la del otro superviviente; es decir, si consideramos que Josefo, realmente, convenció a un zelote al azar o de si este era su cómplice desde el principio.
Pero nosotros vamos a atenernos a los hechos históricos que conocemos: Flavio Josefo estaba acorralado junto a 40 de sus hombres; 41 en total, impar.
Supongamos que cada hombre apuñala a su vecino. Los textos no dicen nada, pero es de suponer que si se hubiera recurrido a fórmulas más complicadas –y difíciles de explicar a un grupo tan numeroso y estresado- lo recogerían.
El 1 mata al 2, el 3 al 4… y así hasta el 41, que por no tener un 42 al que matar, mata al 1.
El 3 es ahora el primero, mata al 5, el 7 al 9, el 11 al 13,… el 31 al 33, el 35 al 37, el 39 al 41.
El 3 mata al 7, el 11 al 15, el 19 al 23, el 27 al 31, el 35 al 39.
Ahora caen el 11 a manos del 3, al 27 lo liquida el 19, y al 3 el 35.
Los números de la suerte son el 19 y el 35.
¿Cómo se calcula esto matemáticamente? Os proponemos una forma sencilla.
Esta tabla muestra cuales son los supervivientes según cuantos suicidas "juegan", y, como veréis, hay un patrón.
N es el número de participantes en el proceso, y P1 y P2 los “números de la suerte”.
Lo primero que queda claro es que nunca, en ningún caso, debes ocupar un lugar par –salvo que aspires a la eternidad de forma inmediata-.
Las dos posiciones afortunadas también se pueden determinar sin necesidad de completar la tabla, de hecho, con llegar al 16 o 17, un punto en el que aún es posible calcular de cabeza el proceso de eliminación, todo debe quedar claro.
Un puesto, el más sencillo de obtener, corresponde a los números marcados en amarillo. Si os fijáis, a partir de cada cifra potencia de 2 - divisible por 2 hasta la unidad- marcada en azul, la serie se reinicia en el 1 y continúa con la sucesión de impares. ¿Cuál es el último número potencia de 2 de 41? El 32.
41 – 32 = 9
1 (el que se salva en todos los ^2) + [9x2] (al ser impares contamos de dos en dos)= 19
Ya sabes dónde colocarte si quieres vivir, pero… ¿y tú colega?
Contando a partir del 2, primera cifra que admite más de un superviviente, también comienza una sucesión de números impares, que se reinicia cada vez que alcanza la cantidad total de participantes, momento en que, como es lógico, vuelve al principio.
Dado que todos los que se salvan son impares, la posición del segundo superviviente avanza dos veces más rápido que la de la rueda. Esto implica que, cada vez que se reinicia lo hace el doble de lejos que antes: 3,4,5=3 – 6,7,8,9,10,11=6… el siguiente punto de coincidencia se alcanzará 12 lugares más adelante, 11+12 = 23, y el siguiente 24 veces después, 23+24= 47, pero ya superamos el número de participantes, por lo tanto partimos de 23.
23=23, 24=1, 25=3….
¿Cuántos números hay entre el 23 y el 41? 18. Como solo contamos impares, por cada nuevo participante la posición del segundo superviviente salta 2 filas, 18x2=36; esto sería correcto si la serie arrancase en el número coincidente, pero no es así, claro, sino en el inmediatamente posterior. Por tanto P=(18x2)-1, o P=1(numero inicial) +[17 (18 menos el número inicial)x2], P=35
Pero, la verdad, cuesta imaginarse a Flavio Josefo, o a cualquiera, sacando un ábaco y poniéndose a hacer cálculos en un momento así.
Existen soluciones más sencillas para una situación como esta, basadas en dos principios fundamentales en toda época y lugar: -hecha la ley, hecha la trampa (el que reparte se lleva la mejor parte) – y los amigos están para las ocasiones.